Tito Eliatron Dixit: Aproximando logaritmos

jueves, 29 de noviembre de 2012

Aproximando logaritmos

Uno de los aspectos que más cuesta a los estudiantes de secundaria es el de los logaritmos. El logaritmo (en base $[;a;]$ ) de un número $[;b;]$ (que se representa por $[;\log_a b;]$ ), es el número al que hay que elevar la base $[;a;]$ para que dé $[;b;]$ , es decir, $[;\log_a b=x\iff a^x=b;]$ .

Pero tal y como pasa con la exponenciación, la base más natural para los logaritmos es el número $[;e\approx2'7172;]$ (del que tantas veces hemos hablado en este blog), en cuyo caso se llama logaritmo natural ó logaritmo neperiano y se denota por $[;\ln;]$ . Sin embargo, en los institutos se suele enseñar este concepto a través del logaritmo en base 10 o logaritmo decimal, y que suele denotarse simplemente por $[;\log;]$ . Pero dada la importancia que el binario tiene en nuestra sociedad de la información, resulta que los logaritmos en base 2 ( $[;\log_2;]$ ) resultan ser también muy utilizados.

En este pequeño artículo, nos hacemos eco de una fórmula de aproximación en la que intervienen estos 3 logaritmos (quizás los más usados) y que aparece (según la fuente consultada, The Endeavour) en el libro de Donald Knuth (sí, el del $[;\LaTeX;]$ ) The Art of Computer Programming.

Sin más dilación os presento la fórmula de aproximación en la que se ven involucrados estos tres logaritmos:

$[;\log_2(x)\approx \ln(x)+\log(x);]$

A ver, que para calcular el logaritmo en base 2, basta calcular el neperiano y el decimal y sumarlos. Bueno, basta no. El resultado se parecerá al logaritmo binario, pero en principio, no debe coincidir.

Claro, aquí viene la pregunta de cualquier persona con un mínimo de interés: ¿Cual es el error relativo cometido?.

Pues muy sencillo. Si esa fórmula de aproximación es cierta, al dividir ambos miembros entre $[;\log_2(x);]$ tendremos que

$[;1\approx\frac{\ln(x)+\log(x)}{\log_2(x)};]$

Y podemos decir que esta fórmula ya es, de alguna manera, adimensional. Por lo que el error relativo cometido será:

$[;\varepsilon_r=1-\frac{\ln(x)+\log(x)}{\log_2(x)};]$

Bien, ahora sólo falta establecer cuánto vale este error. Y para ello vamos a necesitar una propiedad de los logaritmos y que me permite escribir cualquiera de ellos como cociente de logaritmos neperianos.

Sabemos que $[;\log_a b=x\iff a^x=b;]$ . Pero claro, también es cierto que $[;a^x=e^{x\ln(a)};]$ , y como $[;a^x=b;]$ , se deduce que $[;e^{x\ln(a)}=b;]$ , o lo que es lo mismo, $[;\ln(b)=x\ln(a);]$ . Pero como $[;x=\log_a b;]$ , basta despejar para obtener la fórmula siguiente:

$[;\log_a b=\frac{\ln(b)}{\ln(a)};]$

Pues bien, aplicando esta sencilla fórmula a nuestro error relativo se tiene que:

$[;\varepsilon_r=1-\frac{\ln(x)+\frac{\ln(x)}{\ln(10)}}{\ln(x)/\ln(2)}=1-\left(1+\frac{1}{\ln10}\right)\ln2\approx0'00582282;]$

Lo que hace que el error relativo sea del $[;0'58\%;]$ , un error bastante pequeño.

Así, podríamos decir que $[;\log_2(10)\approx1+\ln10\approx3'30259;]$ ; mientras que el valor real (aproximado con 5 decimales) es $[;\log_210=3'32193;]$ .